\subsection{Short-Time Fourier Transform (STFT)}

\subsubsection{Formulasi Matematis STFT}

Short-Time Fourier Transform (STFT) adalah teknik fundamental untuk menganalisis sinyal non-stasioner dengan menyediakan representasi waktu-frekuensi yang simultan. Berbeda dengan transformasi Fourier konvensional yang hanya memberikan informasi domain frekuensi global, STFT menerapkan transformasi Fourier pada segmen-segmen sinyal pendek yang bertumpang tindih.

Secara matematis, STFT dari sinyal diskrit $x[n]$ didefinisikan sebagai:
\begin{equation}
X(m, \omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot w[n - m] \cdot e^{-j \omega n}
\end{equation}

dimana:
\begin{itemize}
    \item $x[n]$ adalah sinyal input diskrit
    \item $w[n]$ adalah fungsi windowing
    \item $m$ adalah indeks waktu (hop)
    \item $\omega$ adalah frekuensi angular diskrit
    \item $X(m, \omega)$ adalah koefisien STFT kompleks
\end{itemize}

\subsubsection{Parameter STFT dan Trade-off Resolusi}

Kualitas representasi waktu-frekuensi STFT ditentukan oleh pemilihan parameter window dan hop size:

\begin{itemize}
    \item \textbf{Window Size ($N$)}: Menentukan resolusi frekuensi. Window yang lebih panjang memberikan resolusi frekuensi yang lebih baik namun resolusi waktu yang lebih buruk.
    \item \textbf{Hop Size ($H$)}: Jarak antar window yang berurutan. Hop size yang lebih kecil memberikan resolusi waktu yang lebih baik namun meningkatkan redundansi dan beban komputasi.
    \item \textbf{Overlap}: Biasanya dipilih 50-75\% untuk mencegah kehilangan informasi di transisi antar window.
\end{itemize}

Prinsip ketidakpastian Heisenberg membatasi resolusi simultan waktu-frekuensi:
\begin{equation}
\Delta t \cdot \Delta f \geq \frac{1}{4\pi}
\end{equation}

dimana $\Delta t$ dan $\Delta f$ adalah ketidakpastian waktu dan frekuensi.

\subsubsection{Spektrogram dan Ekstraksi Fitur}

Spektrogram adalah representasi visual STFT yang menunjukkan distribusi energi sinyal dalam domain waktu-frekuensi:
\begin{equation}
S(m, \omega) = |X(m, \omega)|^2
\end{equation}

Untuk aplikasi pembelajaran mesin, spektrogram dapat digunakan langsung sebagai fitur 2D atau dikonversi menjadi vektor fitur 1D melalui:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Flattening}: Mengubah matriks spektrogram menjadi vektor fitur
    \item \textbf{Statistical Features}: Ekstraksi statistik seperti mean, variance, skewness, kurtosis per bin frekuensi
    \item \textbf{Magnitude Spectrum}: Menggunakan hanya magnitudo tanpa informasi fase
\end{itemize}

\subsubsection{Keunggulan STFT untuk Deteksi Kerusakan}

STFT sangat sesuai untuk deteksi kerusakan struktur karena:

\begin{enumerate}
    \item \textbf{Analisis Transien}: Mampu menangkap perubahan frekuensi lokal yang disebabkan oleh kerusakan
    \item \textbf{Deteksi Harmonik}: Mengidentifikasi komponen harmonik baru yang muncul akibat kelonggaran baut
    \item \textbf{Temporal Resolution}: Mempertahankan informasi waktu terjadinya perubahan spektral
    \item \textbf{Robustness}: Relatif tahan terhadap noise dibanding analisis time-domain murni
\end{enumerate}

Dalam konteks kelonggaran baut, STFT dapat mendeteksi:
\begin{itemize}
    \item Pergeseran frekuensi natural akibat perubahan kekakuan sambungan
    \item Munculnya frekuensi beat akibat coupling yang berubah
    \item Modulasi amplitudo yang mengindikasikan kontak intermiten
\end{itemize}

\subsubsection{Implementasi STFT untuk Dataset QUGS}

Dalam penelitian ini, parameter STFT dioptimalkan untuk karakteristik data QUGS:
\begin{itemize}
    \item \textbf{Window Function}: Hann window untuk meminimalkan spectral leakage
    \item \textbf{Window Size}: 1024 sampel (≈1 detik pada 1024 Hz sampling rate)
    \item \textbf{Hop Size}: 512 sampel (50\% overlap)
    \item \textbf{Frequency Bins}: 513 bin frekuensi (0 - 512 Hz)
\end{itemize}

Konfigurasi ini menghasilkan spektrogram berukuran 513×513 yang kemudian di-flatten menjadi vektor fitur 263,169 dimensi untuk input ke algoritma pembelajaran mesin.